حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{u}{2}$ و $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

خطوة 6.2

اضرب $\int \cos (u) d u$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

خطوة 7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

خطوة 8

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

خطوة 10.2

اضرب $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

خطوة 10.2.2

اجمع $\cos (x^{2})$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

خطوة 10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

خطوة 10.4

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$