حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{4} \sqrt{x^{5} + 5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{5} + 5$ . إذن $d u = 5 x^{4} d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{5} + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{5} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} + 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 x^{4} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5} + 5$ .

$\frac{2}{15} {(x^{5} + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$