حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{3 - 2 x - x^{2}} d x$

خطوة 1

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل $3$ .

$- 2 x - x^{2} + 3$

خطوة 1.1.2

أعِد ترتيب $- 2 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x + 3$

خطوة 1.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 3$

خطوة 1.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.4.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot - 1$ بالصيغة $- - 1$ .

$d = - - 1$

خطوة 1.4.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$d = 1$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

خطوة 1.5.2.1.3

اقسِم $4$ على $- 4$ .

$e = 3 - - 1$

خطوة 1.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 3 + 1$

خطوة 1.5.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$e = 4$

خطوة 1.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$\int \sqrt{- {(x + 1)}^{2} + 4} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x + 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 4} d u_{1}$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 2 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط $\sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (2^{2} \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{- (4 \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int \sqrt{- 4 \sin^{2} (t) + 4} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.2

أعِد ترتيب $- 4 \sin^{2} (t)$ و $4$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.6

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.7

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int 4 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 4.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 4.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 4.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 4.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 4 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 6

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = 2 t$ . إذن $d u_{2} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 11.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 12

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 14

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$2 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 15

بسّط.

$2 (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 t$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 16.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 16.4

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{2}))) + C$

خطوة 16.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))) + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2}) + C$

خطوة 17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

خطوة 17.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

خطوة 17.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2})) + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1)) + \sin (2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1))) + C$