حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ في $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = 2 t$ . إذن $d u_{1} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

خطوة 9

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2

وسّع $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.4

انقُل $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.5

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.6

اضرب $\cos (u_{1})$ في $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.8

أخرِج السالب.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.9

ارفع $\cos (u_{1})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.10

ارفع $\cos (u_{1})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

خطوة 9.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.13

اطرح $\cos (u_{1})$ من $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.14

اطرح $\cos^{2} (u_{1})$ من $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 13

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

خطوة 15

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

خطوة 16

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

خطوة 17

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 17.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 17.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 17.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 17.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

خطوة 18

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

خطوة 19

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 20

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

خطوة 21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

بسّط.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 21.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1

لكتابة $u_{1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 21.2.2

اجمع $u_{1}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 21.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 21.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 21.2.5

اطرح $u_{1}$ من $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 22

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

خطوة 22.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

خطوة 22.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

خطوة 22.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 t))}{4}) + C$

خطوة 22.5

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

خطوة 23.1.1.2

اقسِم $\arcsin (x)$ على $1$ .

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

خطوة 23.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

خطوة 23.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{8} \arcsin (x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

خطوة 23.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

خطوة 23.4

اضرب $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.4.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{8 \cdot 4} + C$

خطوة 23.4.2

اضرب $8$ في $4$ .

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{32} + C$

خطوة 24

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} \arcsin (x) - \frac{1}{32} \sin (4 \arcsin (x)) + C$