حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $e^{4 x}$ و $\cos (3 x)$ .

$\int \cos (3 x) e^{4 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (3 x)$ و $d v = e^{4 x}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4} \cdot - 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4} \cdot - 3$ خارج التكامل.

$\cos (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$\cos (3 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

خطوة 4.2

اجمع $\cos (3 x)$ و $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 3$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{4 x}$ و $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} \int \sin (3 x) e^{4 x} d x)$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (3 x)$ و $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (3 \cos (3 x)) d x))$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4} \cdot 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4} \cdot 3$ خارج التكامل.

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

خطوة 7.2

اجمع $\sin (3 x)$ و $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $3$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3}{4} \cdot \frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4}$ في $\frac{- 3}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{4 \cdot 4} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

خطوة 7.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

خطوة 7.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + 1 (\frac{- 3}{4}) (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)$

خطوة 7.6.3

اضرب $\frac{- 3}{4}$ في $1$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 3}{4} (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)$

خطوة 7.7

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{- 3}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{3 \cdot - 3}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

خطوة 7.8

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 9}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

خطوة 7.8.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 9}{16} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$ ، وجدنا أن $\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16}}{\frac{25}{16}}$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل $- 3$ إلى يسار $\sin (3 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3 \cdot (\sin (3 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

خطوة 9.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

خطوة 9.1.4

اضرب $\frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}$ في $1$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

خطوة 9.1.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{25}{16}$ .

$(\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{25} + C$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $(\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{25} + C$ بالصيغة $(\frac{1}{4} \cos (3 x) e^{4 x} + \frac{3}{16} \sin (3 x) e^{4 x}) \frac{16}{25} + C$ .

$(\frac{1}{4} \cos (3 x) e^{4 x} + \frac{3}{16} \sin (3 x) e^{4 x}) \frac{16}{25} + C$