حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $e^{8 x}$ و $\sin (9 x)$ .

$\int \sin (9 x) e^{8 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (9 x)$ و $d v = e^{8 x}$ .

$\sin (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (9 \cos (9 x)) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8} \cdot 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{8} \cdot 9$ خارج التكامل.

$\sin (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$\sin (9 x) \frac{e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

خطوة 4.2

اجمع $\sin (9 x)$ و $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $9$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{8 x}$ و $\cos (9 x)$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 x) e^{8 x} d x)$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (9 x)$ و $d v = e^{8 x}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (- 9 \sin (9 x)) d x))$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{8} \cdot - 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{8} \cdot - 9$ خارج التكامل.

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) \frac{e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

خطوة 7.2

اجمع $\cos (9 x)$ و $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 9$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8}$ في $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

خطوة 7.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $8$ في $8$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

خطوة 7.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)$

خطوة 7.6.3

اضرب $\frac{9}{8}$ في $1$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)$

خطوة 7.7

اضرب $\frac{- 9}{8}$ في $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

خطوة 7.8

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $- 9$ في $9$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

خطوة 7.8.2

اضرب $8$ في $8$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$ ، وجدنا أن $\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل $9$ إلى يسار $\cos (9 x) e^{8 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 x) e^{8 x})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

خطوة 9.1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{145}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cos (9 x) e^{8 x}}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cos (9 x) e^{8 x}}{64}) \frac{64}{145} + C$ بالصيغة $(\frac{1}{8} \sin (9 x) e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{1}{8} \sin (9 x) e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $\sin (9 x)$ .

$(\frac{\sin (9 x)}{8} e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.3.2

اجمع $\frac{\sin (9 x)}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.3.3

اجمع $\cos (9 x)$ و $\frac{9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) \cdot 9}{64} e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.3.4

اجمع $e^{8 x}$ و $\frac{\cos (9 x) \cdot 9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x} (\cos (9 x) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.3.5

انقُل $9$ إلى يسار $\cos (9 x)$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8}$ .

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

أعِد الكتابة.

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (\cos (9 x) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.4.2.2

انقُل $9$ إلى يسار $\cos (9 x)$ .

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cdot \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.4.2.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} \cdot 9 \cos (9 x)}{64}) \frac{64}{145} + C$

خطوة 9.4.3

انقُل $9$ إلى يسار $e^{8 x}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 x} \sin (9 x) - \frac{9}{64} e^{8 x} \cos (9 x)) \frac{64}{145} + C$