حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{\sin (π x)} \cos (π x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sin (π x)$ . إذن $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sin (π x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\cos (π x) π$

خطوة 1.1.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

خطوة 2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} e^{\sin (π x)} + C$