حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \frac{x}{3}$ . إذن $d u = \frac{1}{3} d x$ ، لذا $3 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \frac{x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

خطوة 2.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

خطوة 3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

خطوة 3.3

انقُل $3$ إلى يسار $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

خطوة 5

اضرب $3$ في $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 7

احسِب قيمة $\ln (| \sin (u) |)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

خطوة 8.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

خطوة 8.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ تساوي تقريبًا $0.8660254$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

خطوة 9.2

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

خطوة 9.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

خطوة 9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

خطوة 9.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 \ln (\sqrt{3})$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$6 \ln (\sqrt{3})$

الصيغة العشرية:

$3.29583686 \dots$