حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

خطوة 2.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

خطوة 4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{u^{4}}{4}$ في $1$ وفي $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

خطوة 7.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

خطوة 8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

خطوة 8.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

خطوة 8.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

خطوة 8.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

خطوة 8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

خطوة 8.5

اطرح $1$ من $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

خطوة 8.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

خطوة 8.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

خطوة 8.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{15}{16}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{15}{16}$

الصيغة العشرية:

$- 0.9375$