حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $u - 1$ خارج الأُس.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.1.3

اضرب $u - 1$ في $1$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وسّع $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \ln (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$