حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (4 x)$ و $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

خطوة 3

بما أن $- 1 \cdot 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1 \cdot 4$ خارج التكامل.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (4 x)$ و $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

خطوة 6

بما أن $- - 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- - 4$ خارج التكامل.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

خطوة 7

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

خطوة 7.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

خطوة 7.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ ، وجدنا أن $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ بالصيغة $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

خطوة 9.2.1.1.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

خطوة 9.2.1.1.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

خطوة 9.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

خطوة 9.2.1.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

خطوة 9.2.1.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

خطوة 9.2.1.3

أخرِج السالب.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$