حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - 6 t$ . إذن $d u = - 6 d t$ ، لذا $- \frac{1}{6} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - 6 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 6 t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 6 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$0 - 6$

خطوة 1.1.4

اطرح $6$ من $0$ .

$- 6$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{u^{4}}$ في $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

خطوة 2.3

انقُل $6$ إلى يسار $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $d$ و $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

خطوة 5.1.2

اجمع $t$ و $\frac{d}{6}$ .

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $u^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $u^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

خطوة 7.1.2

انقُل $u^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

خطوة 7.3.2

اجمع $d$ و $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

خطوة 7.3.4

اضرب $\frac{d t}{6}$ في $1$ .

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

خطوة 7.3.5

اضرب $\frac{d t}{6}$ في $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

خطوة 7.3.6

اضرب $3$ في $6$ .

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 6 t$ .

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$