حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 3 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $3 \cos (t)$ من ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

خطوة 2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

خطوة 2.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ إلى $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

خطوة 4.2

اجمع $d$ و $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

خطوة 4.3

اجمع $x$ و $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 5

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ بالصيغة $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

خطوة 6.2.2

اجمع $\frac{x}{9}$ و $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

خطوة 6.2.3

اجمع $\frac{x d}{9}$ و $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ و $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (\frac{x}{3})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . إذن، $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ تساوي $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

خطوة 8.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.9

اضرب $\frac{3 + x}{3}$ في $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.10

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.11

أعِد كتابة $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.11.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.11.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.11.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.12

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.13

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.14

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

خطوة 8.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

خطوة 8.15

اجمع $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ و $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

خطوة 8.16

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.16.1

اجمع $x$ و $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

خطوة 8.16.2

اجمع $d$ و $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

خطوة 8.17

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

خطوة 8.18

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.18.1

اختزِل العبارة $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.18.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

خطوة 8.18.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

خطوة 8.18.2

اقسِم $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ على $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$