حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \tan^{3} (4 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 4 x$ . إذن $d u_{1} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\tan^{3} (u_{1})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

أخرِج عامل $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

تكامل $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = \sec (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = \sec (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

خطوة 10.1.2

مشتق $\sec (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 12

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

خطوة 13.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (4 x)) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{\sec^{2} (4 x)}{2}) + C$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

خطوة 14.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (| \sec (4 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

خطوة 14.4

اجمع.

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1 \sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 14.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اضرب $\sec^{2} (4 x)$ في $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 14.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{8} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{8} \sec^{2} (4 x) + C$