حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u^{3}}$ في صورة $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 6.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 6.2.4

اضرب $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افصِل الكسور.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 8.2

حوّل من $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ إلى ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$