حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = π x$ . إذن $d u_{1} = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = π x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{π}$ و $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{π} \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{π}$ و $\cos^{5} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

أخرِج عامل $\cos^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) (\cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

خطوة 8

وسّع ${u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} ((1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.8

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.9

انقُل الأقواس.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.10

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.11

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.12

انقُل الأقواس.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.13

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

خطوة 8.14

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

خطوة 8.15

انقُل الأقواس.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.16

انقُل الأقواس.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.17

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.18

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1}{π} \int 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.19

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.20

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.21

أخرِج السالب.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.23

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.24

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.25

أخرِج السالب.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.26

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.27

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.28

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.29

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.30

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2 + 2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.31

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8.32

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

خطوة 8.33

أضف $4$ و $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

خطوة 8.34

اطرح ${u_{2}}^{4}$ من $- {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

خطوة 8.35

أعِد ترتيب $- 2 {u_{2}}^{4}$ و ${u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

خطوة 8.36

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{π} (\int {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{6}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{4}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 14.1.2

اجمع $\frac{1}{7}$ و ${u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 14.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

خطوة 14.2

بسّط.

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} - \frac{2 {u_{2}}^{5}}{5} + \frac{{u_{2}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (u_{1})}{7} - \frac{2 \sin^{5} (u_{1})}{5} + \frac{\sin^{3} (u_{1})}{3}) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $π x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (π x)}{7} - \frac{2 \sin^{5} (π x)}{5} + \frac{\sin^{3} (π x)}{3}) + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} \sin^{7} (π x) - \frac{2}{5} \sin^{5} (π x) + \frac{1}{3} \sin^{3} (π x)) + C$