حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int r e^{\frac{r}{2}} d r$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = r$ و $d v = e^{\frac{r}{2}}$ .

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} r} d r$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{r}{2}} d r)$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{\frac{r}{2}} d r$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \frac{r}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d r$ ، لذا $2 d u = d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \frac{r}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{r}{2}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{2}]$

خطوة 4.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{r}{2}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

خطوة 5.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

خطوة 7

اضرب $2$ في $- 2$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

خطوة 9

أعِد كتابة $r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ بالصيغة $2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{r}{2}$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{\frac{r}{2}} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$2 r e^{\frac{1}{2} r} - 4 e^{\frac{1}{2} r} + C$