حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

خطوة 5

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

خطوة 7

بسّط.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$