حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x + 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

خطوة 1.2

حلّل $x^{2} + 3 x - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $3$ .

$- 1, 4$

خطوة 1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

خطوة 2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = (x - 1) (x + 4)$ . إذن $d u = (2 x + 3) d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = (x - 1) (x + 4)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.1.3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.1.3.4.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.1.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

خطوة 3.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

خطوة 3.1.3.8.2

اضرب $x + 4$ في $1$ .

$x - 1 + x + 4$

خطوة 3.1.3.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$2 x - 1 + 4$

خطوة 3.1.3.8.4

أضف $- 1$ و $4$ .

$2 x + 3$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2

اضرب $6$ في $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$