حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{16 x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

خطوة 1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int \frac{x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 4 x^{4} + 3$ . إذن $d u = 16 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 4 x^{4} + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 3]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{4} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$16 x^{3} + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $16 x^{3}$ و $0$ .

$16 x^{3}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$16 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{16} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{16}$ .

$16 \int \frac{1}{u \cdot 16} d u$

خطوة 3.2

انقُل $16$ إلى يسار $u$ .

$16 \int \frac{1}{16 u} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$16 (\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{16}$ و $16$ .

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{4} + 3$ .

$\ln (| 4 x^{4} + 3 |) + C$