حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $5 x$ من $10 x^{3} - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $5 x$ من $10 x^{3}$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $5 x$ من $- 5 x$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $5 x$ من $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

خطوة 2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 4.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . إذن $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

خطوة 7.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

خطوة 7.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

خطوة 7.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

خطوة 7.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

خطوة 7.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

خطوة 7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$2 u_{1} - 1 + 0$

خطوة 7.1.4.2

أضف $2 u_{1} - 1$ و $0$ .

$2 u_{1} - 1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

خطوة 8

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 8.2

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 8.3

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 8.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $2$ .

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.3.2.4

اقسِم $5$ على $1$ .

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$