حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

خطوة 2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{1}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x^{4}$ . إذن $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ في $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

خطوة 4.3

انقُل $4$ إلى يسار $2 u_{1} + 1$ .

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 u_{1} + 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 7.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$