حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{3}$ على $x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 - x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

خطوة 1.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

خطوة 1.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x + \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{2} - 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{2} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C$