حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = 5 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 5 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $5 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.3

اضرب $25$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $25$ من $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $25$ من $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $25 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.7

ارفع $25$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.8

اضرب الأُسس في ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 \cos^{6} (t)}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.9

أعِد كتابة $15625 \cos^{6} (t)$ بالصيغة ${(125 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(125 \cos^{3} (t))}^{2}}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{125 \cos^{3} (t)} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $5 \cos (t)$ من $125 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{25 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{25}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{25}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

خطوة 5

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ إلى $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{25} \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$\frac{1}{25} (\tan (t) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{25} \tan (t) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{x}{5})) + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$