حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{{(16 - x^{3})}^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 16 - x^{3}$ . إذن $d u = - 3 x^{2} d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 16 - x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $16 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

خطوة 1.1.4

اطرح $3 x^{2}$ من $0$ .

$- 3 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

خطوة 2.3

انقُل $3$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C$

خطوة 7.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3 (16 - x^{3})} + C$