حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 3 x$ . إذن $d u_{1} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

خطوة 4.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

خطوة 4.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 7

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

خطوة 7.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$