حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{2}{3 \sec (t)}$ و $3$ .

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{6}{3 \sec (t)}$ و $\tan (t)$ .

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.7

اضرب $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ في $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.8

اضرب $3$ في $2$ .

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.9

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.10

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.13

انقُل $2$ إلى يسار $\sec (t)$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

خطوة 2.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

خطوة 2.2.15

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

خطوة 2.2.15.2

اقسِم $3 \tan^{2} (t)$ على $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{2 x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $arcsec (\frac{2 x}{3})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . إذن، $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ تساوي $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

خطوة 10.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

خطوة 10.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{2 x}{3}$ و $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

خطوة 10.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

خطوة 10.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

خطوة 10.1.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

خطوة 10.1.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

خطوة 10.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

خطوة 10.1.9

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

خطوة 10.1.10

اضرب $\frac{2 x + 3}{3}$ في $\frac{2 x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

خطوة 10.1.11

اضرب $3$ في $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

خطوة 10.1.12

أعِد كتابة $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.12.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

خطوة 10.1.12.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

خطوة 10.1.12.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

خطوة 10.1.13

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

خطوة 10.1.14

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

خطوة 10.2

لكتابة $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

خطوة 10.3

اجمع $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ و $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

خطوة 10.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

خطوة 10.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

خطوة 10.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

خطوة 10.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$