حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $4 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $\frac{1}{2 \tan (t)}$ في $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

خطوة 2.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

خطوة 4

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

خطوة 7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$