حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حلّل $x^{2} - 3 x + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 2, - 1$

خطوة 1.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{1}{(x - 2) (x - 1)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

خطوة 1.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 1)$ على $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.5.2

اقسِم $(B) (x - 2)$ على $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

خطوة 1.1.7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

خطوة 1.1.7.7

انقُل $- 2$ إلى يسار $B$ .

$1 = A x - A + B x - 2 B$

خطوة 1.1.8

انقُل $- A$ .

$1 = A x + B x - A - 2 B$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A - 2 B$

خطوة 1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

خطوة 1.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 1 A - 2 B$ بـ $- B$ .

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط $- 1 (- B) - 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

اضرب $- 1 (- B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

خطوة 1.3.2.2.1.1.2

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اطرح $2 B$ من $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

خطوة 1.3.3.2

اقسِم كل حد في $- B = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- B = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

خطوة 1.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

خطوة 1.3.3.2.2.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

خطوة 1.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

خطوة 1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

خطوة 1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

خطوة 1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 1, B = - 1$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

خطوة 1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x - 2$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 6.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 9

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 2$ .

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$