حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.4

أضف $0$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

خطوة 2.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 2.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 3.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

خطوة 3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $6$ في $1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

خطوة 3.4.2

اجمع $6$ و $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

خطوة 4.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

خطوة 4.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 4}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 4$ في $6$ .

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

خطوة 4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 4.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اجمع $- 24$ و $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 4.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$