حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (\frac{x}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

خطوة 1.2.4

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

خطوة 3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $\cos (\frac{x}{2})$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 3.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

خطوة 3.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f''' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- \frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

خطوة 4.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 4.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 4.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $1$ .

$\frac{1}{8} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 4.3.2.2

اجمع $\sin (\frac{x}{2})$ و $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 4.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.4.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \cdot 1$

خطوة 4.3.6

اضرب $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$