حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{x^{2}} + 11 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x^{2}} + 11 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} (11 x)$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [11 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $11$ في $1$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 e^{x^{2}} x + 11$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x + 11$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2}} + 11$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x e^{x^{2}} + 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.10

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.2.11

اضرب $e^{x^{2}}$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.3

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

خطوة 2.4.2.2

أضف $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2} e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.6

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

انقُل $x$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.6.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.2.7

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2}})$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f''' (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4.2.3

أضف $8 e^{x^{2}} x$ و $4 e^{x^{2}} x$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = 8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3} e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.6

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

انقُل $x$ .

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.6.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = 8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.6.3

أضف $1$ و $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.2.7

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}})$

خطوة 4.3.2

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.3.9

أضف $1$ و $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.3.10

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.3.11

اضرب $e^{x^{2}}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

خطوة 4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب $2$ في $8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.3.2

اضرب $3$ في $8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.3.3

اضرب $2$ في $12$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.3.4

أضف $24 e^{x^{2}} x^{2}$ و $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.4.1

انقُل $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.3.4.2

أضف $24 x^{2} e^{x^{2}}$ و $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{4} (x) = 16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$

خطوة 4.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$