حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$G (r) = \sqrt{r} + \sqrt[9]{r}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{r} + \sqrt[9]{r}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[9]{r}]$ .

$f' (r) = \frac{d}{d r} (\sqrt{r}) + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{r}$ في صورة $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (r) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\sqrt[9]{r}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[9]{r}$ في صورة $r^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{9}})$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} - 1}$

خطوة 1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

خطوة 1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{9}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

خطوة 1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}}$

خطوة 1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1 - 9}{9}}$

خطوة 1.3.6.2

اطرح $9$ من $1$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{- 8}{9}}$

خطوة 1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{- \frac{8}{9}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} r^{- \frac{8}{9}}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$

خطوة 1.4.3.2

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}]$ .

$f'' (r) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{- 1}$ و $g (r) = r^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.5

اضرب الأُسس في ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $r^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} \frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.12

اجمع $\frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $r^{- 1}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2}} r^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13

اضرب $r^{- \frac{1}{2}}$ في $r^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.14

انقُل $r^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.15

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{2 (2 r^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.2.16

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{1}{9} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}]$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}})$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$ بالصيغة ${(r^{\frac{8}{9}})}^{- 1}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{8}{9}})}^{- 1})$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{- 1}$ و $g (r) = r^{\frac{8}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{8}{9}}))$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{8}{9}})$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{8}{9}})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{8}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{8}{9} \cdot - 2} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $\frac{8}{9} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $\frac{8}{9}$ و $- 2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{8 \cdot - 2}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $8$ في $- 2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{- 16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

خطوة 2.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

خطوة 2.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

خطوة 2.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{9}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

خطوة 2.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8 - 1 \cdot 9}{9}}))$

خطوة 2.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8 - 9}{9}}))$

خطوة 2.3.9.2

اطرح $9$ من $8$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{- 1}{9}}))$

خطوة 2.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{- \frac{1}{9}}))$

خطوة 2.3.11

اجمع $\frac{8}{9}$ و $r^{- \frac{1}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} \frac{8 r^{- \frac{1}{9}}}{9})$

خطوة 2.3.12

اجمع $\frac{8 r^{- \frac{1}{9}}}{9}$ و $r^{- \frac{16}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{1}{9}} r^{- \frac{16}{9}}}{9})$

خطوة 2.3.13

اضرب $r^{- \frac{1}{9}}$ في $r^{- \frac{16}{9}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.13.1

انقُل $r^{- \frac{16}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 (r^{- \frac{16}{9}} r^{- \frac{1}{9}})}{9})$

خطوة 2.3.13.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{16}{9} - \frac{1}{9}}}{9})$

خطوة 2.3.13.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{\frac{- 16 - 1}{9}}}{9})$

خطوة 2.3.13.4

اطرح $1$ من $- 16$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{\frac{- 17}{9}}}{9})$

خطوة 2.3.13.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{17}{9}}}{9})$

خطوة 2.3.14

انقُل $r^{- \frac{17}{9}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8}{9 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 2.3.15

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{8}{9 r^{\frac{17}{9}}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{9 (9 r^{\frac{17}{9}})}$

خطوة 2.3.16

اضرب $9$ في $9$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}]$ .

$f''' (r) = \frac{d}{d r} (- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d r} \frac{1}{r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d r} {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{- 1}$ و $g (r) = r^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.5

اضرب الأُسس في ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.5.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.9.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.10

اجمع $\frac{3}{2}$ و $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} \frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.11

اجمع $\frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $r^{- 3}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{1}{2}} r^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12

اضرب $r^{\frac{1}{2}}$ في $r^{- 3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1

انقُل $r^{- 3}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 (r^{- 3} r^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.3

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.4

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.6.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.6.2

أضف $- 6$ و $1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.12.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.13

انقُل $r^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f''' (r) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.15

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f''' (r) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.16

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{4 (2 r^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.2.17

اضرب $2$ في $4$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- \frac{8}{81}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- \frac{8}{81} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}]$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot \frac{d}{d r} \frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}$ بالصيغة ${(r^{\frac{17}{9}})}^{- 1}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot \frac{d}{d r} {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 1}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{- 1}$ و $g (r) = r^{\frac{17}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{17}{9}}))$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{17}{9}})$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{17}{9}})$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{17}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

خطوة 3.3.5

اضرب الأُسس في ${(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{17}{9} \cdot - 2} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $\frac{17}{9} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

اجمع $\frac{17}{9}$ و $- 2$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{17 \cdot - 2}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

خطوة 3.3.5.2.2

اضرب $17$ في $- 2$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{- 34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

خطوة 3.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

خطوة 3.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

خطوة 3.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{9}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

خطوة 3.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17 - 1 \cdot 9}{9}}))$

خطوة 3.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17 - 9}{9}}))$

خطوة 3.3.9.2

اطرح $9$ من $17$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{8}{9}}))$

خطوة 3.3.10

اجمع $\frac{17}{9}$ و $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} \frac{17 r^{\frac{8}{9}}}{9})$

خطوة 3.3.11

اجمع $\frac{17 r^{\frac{8}{9}}}{9}$ و $r^{- \frac{34}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{8}{9}} r^{- \frac{34}{9}}}{9})$

خطوة 3.3.12

اضرب $r^{\frac{8}{9}}$ في $r^{- \frac{34}{9}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.12.1

انقُل $r^{- \frac{34}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 (r^{- \frac{34}{9}} r^{\frac{8}{9}})}{9})$

خطوة 3.3.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{- \frac{34}{9} + \frac{8}{9}}}{9})$

خطوة 3.3.12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{- 34 + 8}{9}}}{9})$

خطوة 3.3.12.4

أضف $- 34$ و $8$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{- 26}{9}}}{9})$

خطوة 3.3.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{- \frac{26}{9}}}{9})$

خطوة 3.3.13

انقُل $r^{- \frac{26}{9}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 3.3.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{8}{81}) \cdot \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$

خطوة 3.3.15

اضرب $\frac{8}{81}$ في $1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{8}{81} \cdot \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$

خطوة 3.3.16

اضرب $\frac{8}{81}$ في $\frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{8 \cdot 17}{81 (9 r^{\frac{26}{9}})}$

خطوة 3.3.17

اضرب $8$ في $17$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{81 (9 r^{\frac{26}{9}})}$

خطوة 3.3.18

اضرب $9$ في $81$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}]$ .

$f^{4} (r) = \frac{d}{d r} (\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $\frac{3}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}$ بالصيغة ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{- 1}$ و $g (r) = r^{\frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $r^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{5}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $r^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.5

اضرب الأُسس في ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.5.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.9.2

اطرح $2$ من $5$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.10

اجمع $\frac{5}{2}$ و $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} \frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.11

اجمع $\frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}$ و $r^{- 5}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{3}{2}} r^{- 5}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12

اضرب $r^{\frac{3}{2}}$ في $r^{- 5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.1

انقُل $r^{- 5}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 (r^{- 5} r^{\frac{3}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.3

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.4

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.6.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.6.2

أضف $- 10$ و $3$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.12.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.13

انقُل $r^{- \frac{7}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.14

اضرب $\frac{3}{8}$ في $\frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.15

اضرب $3$ في $5$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.2.16

اضرب $2$ في $8$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $\frac{136}{729}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{136}{729} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}}]$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}})$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}}$ بالصيغة ${(r^{\frac{26}{9}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{26}{9}})}^{- 1})$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{- 1}$ و $g (r) = r^{\frac{26}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $r^{\frac{26}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{26}{9}}))$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{26}{9}})$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $r^{\frac{26}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{26}{9}})$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{26}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

خطوة 4.3.5

اضرب الأُسس في ${(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{26}{9} \cdot - 2} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $\frac{26}{9} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

اجمع $\frac{26}{9}$ و $- 2$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{26 \cdot - 2}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

خطوة 4.3.5.2.2

اضرب $26$ في $- 2$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{- 52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

خطوة 4.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

خطوة 4.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

خطوة 4.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{9}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

خطوة 4.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26 - 1 \cdot 9}{9}}))$

خطوة 4.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26 - 9}{9}}))$

خطوة 4.3.9.2

اطرح $9$ من $26$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{17}{9}}))$

خطوة 4.3.10

اجمع $\frac{26}{9}$ و $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} \frac{26 r^{\frac{17}{9}}}{9})$

خطوة 4.3.11

اجمع $\frac{26 r^{\frac{17}{9}}}{9}$ و $r^{- \frac{52}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{17}{9}} r^{- \frac{52}{9}}}{9})$

خطوة 4.3.12

اضرب $r^{\frac{17}{9}}$ في $r^{- \frac{52}{9}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.12.1

انقُل $r^{- \frac{52}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 (r^{- \frac{52}{9}} r^{\frac{17}{9}})}{9})$

خطوة 4.3.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{- \frac{52}{9} + \frac{17}{9}}}{9})$

خطوة 4.3.12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{- 52 + 17}{9}}}{9})$

خطوة 4.3.12.4

أضف $- 52$ و $17$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{- 35}{9}}}{9})$

خطوة 4.3.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{- \frac{35}{9}}}{9})$

خطوة 4.3.13

انقُل $r^{- \frac{35}{9}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26}{9 r^{\frac{35}{9}}})$

خطوة 4.3.14

اضرب $\frac{136}{729}$ في $\frac{26}{9 r^{\frac{35}{9}}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{136 \cdot 26}{729 (9 r^{\frac{35}{9}})}$

خطوة 4.3.15

اضرب $136$ في $26$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{729 (9 r^{\frac{35}{9}})}$

خطوة 4.3.16

اضرب $9$ في $729$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $G (r)$ بالنسبة إلى $r$ هو $- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$