حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$4 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 3.3.5

اضرب $8$ في $1$ .

$f''' (x) = 8 \sin (2 x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.2

اضرب $2$ في $8$ .

$16 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$16 \cos (2 x) \cdot 1$

خطوة 4.3.4

اضرب $16$ في $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \cos (2 x)$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $16 \cos (2 x)$ .

$16 \cos (2 x)$