حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(2 x - 5)}^{7}$ و $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{7}] - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = 2 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + 0)) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \cdot 2) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.6.2

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$

خطوة 4.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل ${(2 x - 5)}^{6}$ من $x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل ${(2 x - 5)}^{6}$ من $x (14 {(2 x - 5)}^{6})$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل ${(2 x - 5)}^{6}$ من $- {(2 x - 5)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل ${(2 x - 5)}^{6}$ من ${(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14) - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

خطوة 5.2

انقُل $14$ إلى يسار $x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x) - - 5)}{2 x^{2}}$

خطوة 5.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x - - 5)}{2 x^{2}}$

خطوة 5.5

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x + 5)}{2 x^{2}}$

خطوة 5.6

اطرح $2 x$ من $14 x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (12 x + 5)}{2 x^{2}}$