حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (5 x^{2} - 1) (3 x^{3} + x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 x^{2} - 1$ و $g (x) = 3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (3 x^{3} + x) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.9

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + 0)$

خطوة 1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أضف $10 x$ و $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x)$

خطوة 1.2.11.2

انقُل $10$ إلى يسار $3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 \cdot ((3 x^{3} + x) x)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (10 (3 x^{3}) + 10 x) x$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $9$ في $5$ .

$f' (x) = 45 x^{2} x^{2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$f' (x) = 45 (x^{2} x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 45 x^{2 + 2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.4

اضرب $5$ في $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.6

أضف $- 9 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.7

اضرب $3$ في $10$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{3} x + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 (x \cdot x^{3}) + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.10

أضف $1$ و $3$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

خطوة 1.3.6.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

خطوة 1.3.6.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

خطوة 1.3.6.14

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{2}$

خطوة 1.3.6.15

أضف $45 x^{4}$ و $30 x^{4}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 x^{2}$

خطوة 1.3.6.16

أضف $- 4 x^{2}$ و $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [75 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $75$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $75 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $75$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $300 x^{3} + 12 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $300 x^{3} + 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [300 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [300 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $300$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $300 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $300 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 300 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f''' (x) = 300 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $300$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $12$ في $1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $900 x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [900 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (900 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [900 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $900$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $900 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $900 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 900 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 900 (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

خطوة 4.2.3

اضرب $2$ في $900$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + \frac{d}{d x} (12)$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $1800 x$ و $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x$