حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\ln (x)}{11 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\ln (x)}{11 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 1.4.4.2

اضرب $\frac{1}{11}$ في $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

خطوة 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.5.4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

خطوة 2.5.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

خطوة 2.5.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

خطوة 2.5.4.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

خطوة 2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

خطوة 2.7

اضرب $\frac{1}{11}$ في $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.2.1.2

اضرب $- 2 (- \ln (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.2.1.2.2

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.3

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

خطوة 2.8.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

خطوة 3.2

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - \ln (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.4.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اضرب في $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.2.2.4

اقسِم $x$ على $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.5.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.9

أضف $1$ و $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 3.11

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 3.11.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 2 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 3.11.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

خطوة 3.11.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

خطوة 3.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{6}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 3.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 3.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

خطوة 3.13

اضرب $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ في $\frac{1}{11}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 11}$

خطوة 3.14

انقُل $11$ إلى يسار $x^{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{11 \cdot x^{4}}$

خطوة 3.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.2.1.1

اضرب $- 3$ في $3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.2.1.2

اضرب $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.2.1.2.2

بسّط $3 \ln (x^{2})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.2.1.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.2.2

اطرح $9$ من $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.3

أعِد كتابة $- 11$ بالصيغة $- 1 (11)$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (x^{6})$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

خطوة 3.15.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}})$

خطوة 3.15.8

اضرب $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ في $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $\frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}})$

خطوة 4.2

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $4$ في $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $11 - \ln (x^{6})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (11) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.3.3

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x^{6})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.4.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اضرب في $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.2

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.3

اجمع $\frac{- 6}{x^{2}}$ و $x^{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 6 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.4.2.1

اضرب في $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.4.4.2.4

اقسِم $- 6 x^{3}$ على $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 4.5.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 4.5.6.2

اضرب $\frac{1}{11}$ في $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot (11 x^{3}) - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1.1

اضرب $- 4$ في $11$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3.1.2

اضرب $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3.1.2.2

بسّط $4 \ln (x^{6})$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{6})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3.1.3.2

اضرب $6$ في $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3.2

اطرح $44 x^{3}$ من $- 6 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.4

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- 50 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.4.2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} \ln (x^{24})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.4.3

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.5

وسّع $\ln (x^{24})$ بنقل $24$ خارج اللوغاريتم.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{11 x^{8}}$

خطوة 4.6.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.6.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $11 x^{8}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

خطوة 4.6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

خطوة 4.6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (x) = \frac{- 50 + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.7

أخرِج العامل $2$ من $- 50 + 24 \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 50$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.7.2

أخرِج العامل $2$ من $24 \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.8

أعِد كتابة $- 25$ بالصيغة $- 1 (25)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.9

أخرِج العامل $- 1$ من $12 \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 - (- 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 (25 - 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

خطوة 4.6.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$ .

$- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$