حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x \sin (x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

خطوة 2.3.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x))$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)$

خطوة 2.4.2

أضف $\cos (x) (2 x)$ و $2 x \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

انقُل $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 2.4.2.2

أضف $2 x \cos (x)$ و $2 x \cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.2.2

$f''' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.3.5

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

خطوة 3.4.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 (x (\sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.3

اطرح $4 x \sin (x)$ من $- 2 \sin (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

انقُل $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.3.2

اطرح $4 x \sin (x)$ من $- 2 x \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.4

أضف $4 \cos (x)$ و $2 \cos (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.2.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.3.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.3.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

خطوة 4.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 4.4.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 (- \sin (x))$

خطوة 4.4.3

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.3.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 (\cos (x) (x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.3.4

اطرح $6 x \cos (x)$ من $- 2 \cos (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.4.1

انقُل $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) - 6 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.3.4.2

اطرح $6 x \cos (x)$ من $- 2 x \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 4.5.3.5

اطرح $6 \sin (x)$ من $- 6 \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ .

$x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$