حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 2 x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 7$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 1.2.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(2 x + 7)}^{2}$ بالصيغة $(2 x + 7) (2 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

خطوة 2.2

وسّع $(2 x + 7) (2 x + 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $7$ في $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

خطوة 2.3.2

أضف $14 x$ و $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

خطوة 2.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ .

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 28 x + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.8

اضرب $2$ في $4$ .

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.9

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $28 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.11

اضرب $28$ في $1$ .

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 2.12

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 (8 x + 28 + 0)$

خطوة 2.13

أضف $8 x + 28$ و $0$ .

$6 (8 x + 28)$

خطوة 2.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

خطوة 2.14.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1

اضرب $8$ في $6$ .

$48 x + 6 \cdot 28$

خطوة 2.14.2.2

اضرب $6$ في $28$ .

$f'' (x) = 48 x + 168$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $48 x + 168$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

خطوة 3.2.3

اضرب $48$ في $1$ .

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $168$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $168$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$48 + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $48$ و $0$ .

$f''' (x) = 48$

خطوة 4

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $48$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$