حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.4

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

خطوة 2.10

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

خطوة 2.13.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.2.5

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 3.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 3.4.2

أضف $4 \cos (x) \sin (x)$ و $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \cos (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

خطوة 4.2

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 4.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 4.4

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 4.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 4.7

أضف $1$ و $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 4.8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

خطوة 4.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

خطوة 4.10

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

خطوة 4.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

خطوة 4.12

أضف $1$ و $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

خطوة 4.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

خطوة 4.13.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$