حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2}{x - 4} - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{2}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x - 4$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x - 4$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

خطوة 7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = 2 x + 1$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 8.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 8.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 8.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 9.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$2 \ln (| u_{1} |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 4$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x + 1$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$