حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int t^{3} + e^{5 t} d t$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int t^{3} d t + \int e^{5 t} d t$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{5 t} d t$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 5 t$ . إذن $d u = 5 d t$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 5 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

خطوة 3.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 4

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{u} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 t$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{5 t} + C$