حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.5.2

اقسِم $2 x^{2} - x + 4$ على $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.6.1.2

اقسِم $A (x^{2} + 4)$ على $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.6.3

انقُل $4$ إلى يسار $A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.1.6.4.2

اقسِم $(B x + C) (x)$ على $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

خطوة 1.1.6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

خطوة 1.1.6.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.6.1

انقُل $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

خطوة 1.1.6.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

خطوة 1.1.7

انقُل $4 A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$2 = A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 1 = C$

خطوة 1.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$4 = 4 A$

خطوة 1.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = - 1$ .

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 A = 4$ .

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

خطوة 1.3.2.2

اقسِم كل حد في $4 A = 4$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 A = 4$ على $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

خطوة 1.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

خطوة 1.3.2.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

خطوة 1.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.3.1

اقسِم $4$ على $4$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $2 = A + B$ بـ $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

خطوة 1.3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

احذِف الأقواس.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

خطوة 1.3.4

أوجِد قيمة $B$ في $2 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

خطوة 1.3.4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

خطوة 1.3.4.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

خطوة 1.3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 1 A = 1 C = - 1$

خطوة 1.3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = 1, A = 1, C = - 1$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 4

قسّم الكسر $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ إلى كسرين.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = x^{2} + 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 7.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $4$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

خطوة 12.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

خطوة 14.2

بسّط.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$