حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x - 1$ و $d v = \sin (π x)$ .

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

خطوة 2

بما أن $- \frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\cos (π x)$ و $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{1}{π}$ في $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = π x$ . إذن $d u = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = π x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

خطوة 5

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{π}$ في $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.2

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.3

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.5

أضف $1$ و $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

خطوة 8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ بالصيغة $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ .

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{\cos (π x)}{π}$ و $x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (π x) x}{π}$ .

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

خطوة 11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$