حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - e^{x}$ . إذن $d u = - e^{x} d x$ ، لذا $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - e^{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 - e^{x}$

خطوة 1.1.4

اطرح $e^{x}$ من $0$ .

$- e^{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - e^{x}$ .

$- \ln (| 1 - e^{x} |) + C$