حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

خطوة 1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

خطوة 1.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.3.4.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 3.5

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sec^{2} (x)}$

خطوة 4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

خطوة 5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

خطوة 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 8

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 10

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (0)}$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{1 + \sec^{2} (0)}$

خطوة 11.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{1 + 1^{2}}$

خطوة 11.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{1 + 1}$

خطوة 11.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2}$