حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

خطوة 1.2

اضرب $k$ في $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

خطوة 1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

خطوة 1.4

وسّع $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

خطوة 1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $k^{2}$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

اضرب $k^{2}$ في $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1.1

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5.1.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $k$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.1

انقُل $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5.1.3.2

اضرب $k$ في $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

خطوة 1.5.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

خطوة 1.5.2

اطرح $2 k^{2}$ من $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

خطوة 1.5.3

أضف $k^{3}$ و $0$ .

$k^{3} - 4 k$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $3$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $30$ و $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

خطوة 3.3.1.2

ارفع $30$ إلى القوة $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

خطوة 3.3.1.3

ارفع $31$ إلى القوة $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $900$ في $961$ .

$\frac{864900}{4}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $864900$ على $4$ .

$216225$

خطوة 4

احسِب قيمة $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $30$ و $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $30$ في $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \cdot 930$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 2$ في $930$ .

$- 1860$

خطوة 5

أضف نتائج المجاميع.

$216225 - 1860$

خطوة 6

اطرح $1860$ من $216225$ .

$214365$