حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ و ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{2})}^{k}$ من ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $\frac{1}{2}$ على $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $k$ في $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

خطوة 3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 4 \cdot 1$

خطوة 3.2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$a = 4$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $2$ في $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ إلى بسط الكسر.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.5

ارفع $2$ إلى القوة $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.9

اجمع $2$ و $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $2$ في $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $1$ من $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $2$ في $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

خطوة 5.6

اقسِم $\frac{2047}{1024}$ على $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

خطوة 5.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $4$ من $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2047}{256}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2047}{256}$

الصيغة العشرية:

$7.99609375$

صيغة العدد الذي به كسر:

$7 \frac{255}{256}$