حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{n}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

خطوة 2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ و ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{3})}^{n}$ من ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

خطوة 2.2.2.4

اقسِم $\frac{1}{3}$ على $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

خطوة 3.2

بسّط.

$a = \frac{1}{3}$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $3$ من $3^{8}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.5

ارفع $3$ إلى القوة $7$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.9

اجمع $3$ و $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $3$ في $2187$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $1$ من $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

خطوة 5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $2$ من $6560$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

خطوة 5.8

اضرب $\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3280}{2187}$ .

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

خطوة 5.8.2

اضرب $3$ في $2187$ .

$\frac{3280}{6561}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3280}{6561}$

الصيغة العشرية:

$0.49992379 \dots$