حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(i - 1)}^{2}$ بالصيغة $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

خطوة 1.2

وسّع $(i - 1) (i - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $i$ في $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

خطوة 1.3.2

اطرح $i$ من $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

خطوة 1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $i$ في $i^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $i$ في $i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

خطوة 1.5.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

خطوة 1.5.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

خطوة 1.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

خطوة 1.5.3

اضرب $i$ في $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

خطوة 1.6

اضرب $i$ في $i$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

انقُل $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

خطوة 1.6.2

اضرب $i$ في $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $3$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $22$ و $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

خطوة 3.3.1.2

ارفع $22$ إلى القوة $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

خطوة 3.3.1.3

ارفع $23$ إلى القوة $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $484$ في $529$ .

$\frac{256036}{4}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $256036$ على $4$ .

$64009$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $22$ و $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

اضرب $22$ في $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.2.2

اضرب $2$ في $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.3

أضف $44$ و $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

خطوة 4.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $506$ في $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

خطوة 4.3.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

خطوة 4.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اقسِم $22770$ على $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

خطوة 4.3.2.3.2

اضرب $- 1$ في $7590$ .

$- 7590$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $22$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

خطوة 5.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

خطوة 5.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

خطوة 5.3.1.2.4

اقسِم $11 (22 + 1)$ على $1$ .

$11 (22 + 1)$

خطوة 5.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أضف $22$ و $1$ .

$11 \cdot 23$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $11$ في $23$ .

$253$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$64009 - 7590 + 253$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $7590$ من $64009$ .

$56419 + 253$

خطوة 7.2

أضف $56419$ و $253$ .

$56672$